Question

7．直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BM與AN所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Answer 1

分析 畫出圖形，建立空間直角坐標系，從而求出向量$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{AN}$的坐標，從而BM與AN所成角的余弦值為|$＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{AN}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{AN}|}$．

解答 解：根據(jù)已知條件，分別以C₁A₁，C₁B₁，C₁C所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)CA=2，則：
A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A₁（2，0，0），B₁（0，2，0），M（1，1，0）；
∴$\overrightarrow{BM}=（1，-1，-2），\overrightarrow{AN}=（-1，0，-2）$；
∴$cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{AN}＞=\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；
∴BM與AN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：D．

點評 考查通過建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角的方法，能求出空間點的坐標，向量夾角余弦的坐標公式，弄清向量夾角和異面直線所成角的關(guān)系．