Question

18．求矩陣M=$[{\begin{array}{l}0&0\\ 0&1\end{array}}]$的特征值和特征向量．

Answer 1

分析 求得矩陣M的特征多項式f（λ），令f（λ）=0，求得M的特征值，分別將特征值代入二元一次方程組，即可求得其特征向量．

解答 解：矩陣M的特征多項式為$f（λ）=|{\begin{array}{l}λ&0\\ 0&{λ-1}\end{array}}|=λ（λ-1）$，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ₁=0，λ₂=1．（4分）
將λ₁=0代入二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}λx-0•y=0\\-0•x+（λ-1）y=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x∈R，且x≠0\\ y=0\end{array}\right.$
所以矩陣M的屬于特征值0的一個特征向量為$[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]$；（7分）
同理，將λ₂=1代入①解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y∈R，且x≠0\end{array}\right.$
所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為$[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]$．（10分）

點評 本題考查特征值和特征向量的求法，考查計算能力，屬于基礎題．