Question

18．函數(shù)$f（x）=\sqrt{-{x^2}+（a+2）x-a-1}（a＞0）$的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=2^x-1（x≤2）的值域為集合B．
（1）當a=1時，求集合A，B；
（2）若集合A，B滿足A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a=1，可得-x²+3x-2≥0，即x²-3x+2≤0，可求x的范圍，得到集合A，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)，可得值域，得到集合B．
（2）根據(jù)A∪B=B，即A⊆B，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，由題意得-x²+3x-2≥0，即x²-3x+2≤0，
解得：1≤x≤2，
∴集合A=[1，2]，
由函數(shù)g（x）=2^x-1（x≤2），可知函數(shù)g（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增，
∴-1≤2^x-1≤3，
∴集合B=（-1，3]．
（2）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
由題意得-x²+（a+2）x-a-1≥0
得x²-（a+2）x+a+1≤0，即（x-1）[x-（a+1）]≤0，
由方程（x-1）[x-（a+1）]=0，
可得：x₁=1，x₂=a+1
∵a＞0，
∴不等式的解集為[1，a+1]，即集合A=[1，a+1]，
由A⊆B，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
故得實數(shù)a的取值范圍是{a|0＜a≤2}．

點評 本題主要考查不等式的計算以及集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．