Question

9．對于兩個圖形F₁，F(xiàn)₂，我們將圖象F₁上任意一點與圖形F₂上的任意一點間的距離中的最小值，叫作圖形F₁與F₂圖形的距離，若兩個函數圖象的距離小于1，則這兩個函數互為“可及函數”，給出下列幾對函數，其中互為“可及函數”的是②④．（寫出所有正確命題的編號）
①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=e^x．g（x）=x；
③f（x）=log₂（x²-2x+5），g（x）=sin$\frac{π}{2}$-x；
④f（x）=x+$\frac{2}{x}$，g（x）=lnx+2．

Answer 1

分析 利用“可及函數”的定義，求出兩個函數圖象的距離最小值，即可得出結論．

解答 解：①f（x）=cosx的最低點與g（x）=2的距離等于1，故不滿足題意；
②f（x）=e^x，則f′（x）=e^x，設切點為（a，e^a），則e^a=1，∴a=0，∴切點為（（0，1），切線方程為y=x+1，則與g（x）=x的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜1，滿足題意；
③f（x）=log₂（x²-2x+5）≥2，g（x）=sin$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$＜0，∴兩個函數圖象的距離大于等于1，不滿足題意；
④x=$\sqrt{2}$時，f（x）=x+$\frac{2}{x}$=2$\sqrt{2}$，g（x）=lnx+2=ln$\sqrt{2}$+2，兩個函數圖象的距離小于1，滿足題意；
故答案為：②④

點評 本題考查合情推理，考查新定義，考查學生的計算能力，正確理解新定義是關鍵．