Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，是否存在直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，滿足兩個(gè)條件：①線段AB的中點(diǎn)P在直線x+2y=0上；②△FAB的面積有最大值．如果存在，請(qǐng)求出面積的最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，即得a=2，再利用離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$及a²-b²=c²，計(jì)算可得橢圓C的方程；
（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l：y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$，表示出三角形的面積，利用求導(dǎo)數(shù)的方法，即可確定△FAB的面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，
∴2a=4，即a=2，
∵離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵a²-b²=c²，∴a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）結(jié)論：存在滿足條件的直線l：y=x+$\sqrt{2}$，S_△FAB最大為$\frac{8}{3}$．
理由如下：
由（1）知F（$\sqrt{2}$，0），分兩種情況討論：
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為：x=t，
又∵線段AB的中點(diǎn)P在直線x+2y=0上，
∴直線l：x=0，此時(shí)A（0，$\sqrt{2}$），B（0，$-\sqrt{2}$），
此時(shí)S_△FAB=$\frac{1}{2}×|AB|×|OF|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（6-m²）＞0，∴$|m|＜\sqrt{6}$，
由韋達(dá)定理，得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
∵線段AB的中點(diǎn)P在直線x+2y=0上，∴k=1，
∴|AB|=$\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$，
又∵點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△FAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}×$$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}|\sqrt{2}+m|\sqrt{6-{m}^{2}}$ （$|m|＜\sqrt{6}$，m≠0），
設(shè)u（m）=$（6-{m}^{2}）（m+\sqrt{2}）^{2}$  （$|m|＜\sqrt{6}$，m≠0），
則令u′（m）=0，可得m=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或m=-$\sqrt{2}$或m=$\sqrt{2}$，
（①）當(dāng)-$\sqrt{6}$＜m＜-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，u′（m）＞0；
（②）當(dāng)-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$時(shí)，u′（m）＜0；
（③）當(dāng)-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$時(shí)，u′（m）＞0；
（④）當(dāng)$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{6}$時(shí)，u′（m）＜0；
又u（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{4}$，u（$\sqrt{2}$）=32，∴當(dāng)m=$\sqrt{2}$時(shí)，S_△FAB最大為$\frac{8}{3}$；
綜上所述，存在滿足條件的直線l：y=x+$\sqrt{2}$，S_△FAB最大為$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形面積計(jì)算公式，函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，屬于難題．