Question

17．如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=A_lC₁=l，AA_l=4，BB_l=2，CC_l=3．
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，求直線OC與直線B₁C₁所成角的大��；
（2）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁中點(diǎn)D，連接OD，C₁D，確定OC與B₁C₁所成的角即DC₁與B₁C₁所成的角，即可得出結(jié)論；
（2）由題意及圖形利用體積分割的方法，把不規(guī)則的幾何體分割成兩個規(guī)則的幾何體，利用相應(yīng)的體積公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）取A₁B₁中點(diǎn)D，連接OD，C₁D，四邊形AA₁B₁B為梯形，
則OD=3，又由CC₁=3，且OD∥CC₁，則ODC₁C為平行四邊形，
∴OC∥DC₁，
∴OC與B₁C₁所成的角即DC₁與B₁C₁所成的角，故所求角為30°  …．（5分）
（2）如圖所示，∵BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴${V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$•BH=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（1+2）•1•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-{A}_{2}B{C}_{2}}$=${S}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}•2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴幾何體的體積=${V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}C}$+${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-{A}_{2}B{C}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（10分）

點(diǎn)評 此題重點(diǎn)考查了直線OC與直線B₁C₁所成角，考查了利用分割法求幾何體的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．