Question

20．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為兩個不同的點，直線l：ax+by+c=0，δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$．有下列命題：
①不論δ為何值，點N都不在直線l上；
②若直線l垂直平分線段MN，則δ=1；
③若δ=-1，則直線l經過線段MN的中點；
④若δ＞1，則點M、N在直線l的同側且l與線段MN的延長線相交．
其中正確命題的序號是①③④（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 （1）根據δ中的分母不為0，即可判斷點N不在直線l上；
（2）δ=1時，分b不等于0和等于0兩種情況考慮，當b不為0時，根據δ=1，化簡后得到直線MN的斜率與直線l的斜率相等，且點N不在直線l上，進而得到兩直線平行；當b為0時，根據δ=1推出直線l與直線MN的斜率都不存在，進而得到兩直線平行；
（3）當δ=-1時，化簡后得到線段MN的中點滿足直線l的解析式，進而得到MN的中點在直線l上；
（4）根據δ大于1，得到ax₁+by₁+c與ax₂+by₂+c同號且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，進而得到點M、N在直線l的同側且直線l與線段MN的延長線相交，綜合可得答案．

解答 解：①因為δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$中，ax₂+by₂+c≠0，所以點N（x₂，y₂）不在直線l上，本選項正確；
②當b≠0時，根據δ=1，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=1，化簡得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{a}$，即直線MN的斜率為-$\frac{a}$，
又直線l的斜率為-$\frac{a}$，①知點N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行；
當b=0時，根據δ=1，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=1，
化簡得：x₁=x₂，直線MN與直線l的斜率不存在，都與y軸平行，
由①）知點N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行，
綜上，當δ=1，直線MN與直線l平行，本選項錯誤；
③當δ=-1時，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=-1，
化簡得：a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+b$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，而線段MN的中點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$ ），
所以直線l經過MN的中點，本選項正確；
④當δ＞1時，得到 δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以點M、N在直線l的同側，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到點M與點N到直線l的距離不等，所以延長線與直線l相交，本選項正確．
所以命題中正確的序號為：①③④．
故答案為：①③④

點評 此題考查學生掌握一點是否在已知直線上的判別方法，掌握兩直線平行時滿足的條件，是一道中檔題．