Question

3．已知α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sinβ=cos（α+β）•sinα．
（1）求證：tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，證得要證的等式成立．
（2）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡(jiǎn)tanβ的解析式，再利用基本不等式求得tanβ的最大值．

解答 解：（1）由于α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sinβ=cos（α+β）•sinα，
∴sinβ=cosαcosβsinα-sinαsinβsinα，即 tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
解得tanβ=$\frac{sinαcosα}{1{+sin}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$，即tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$成立．
（2）由于tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{{4sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{{4tan}^{2}α+2}$ $\frac{2}{4tanα+\frac{2}{tanα}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4×2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4tanα=$\frac{2}{tanα}$，即tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取等號(hào)，故tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．