4.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

$\overline x$$\overline y$$\overline w$$\sum_{i=1}^8{{{({x_i}-\overline x)}^2}}$$\sum_{i=1}^8{{{({w_i}-\overline w)}^2}}$$\sum_{i=1}^8{({x_i}-\overline x)•({{y_i}-\overline y})}$$\sum_{i=1}^8{{{({w_i}-\overline w)}^2}}•({{y_i}-\overline y})$
46.65636.8289.81.61 469108.8
表中wi=$\sqrt{x}$i,$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$wi
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:
①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{({u_i}-\overline u)({{v_i}-\overline v})}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({u_i}-\overline u)}^2}}}},\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$.

分析 (1)根據(jù)散點(diǎn)圖,即可判斷出,
(2)先建立中間量w=$\sqrt{x}$,建立y關(guān)于w的線性回歸方程,根據(jù)公式求出w,問(wèn)題得以解決;
(3)①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),代入到回歸方程,計(jì)算即可,
②求出預(yù)報(bào)值得方程,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),即可求出.

解答 解:(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.
(2)令w=$\sqrt{x}$,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.
由于 d=$\frac{108.8}{.6}$=68,c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=100.6,
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,
因此y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$.
(3)①由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),
年銷量y的預(yù)報(bào)值y=100.6+68•$\sqrt{49}$=576.6,
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.6×0.2-49=66.32.
②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=0.2(100.6+68$\sqrt{x}$)-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12.
所以當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8,即x=46.24時(shí),z取得最大值.
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的問(wèn)題,準(zhǔn)確的計(jì)算是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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