Question

16．若函數(shù)f（x）滿足$f（x）+1=\frac{1}{f（x+1）}$，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-2m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $0＜m≤\frac{1}{3}$
• B． $0＜m＜\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}＜m≤1$
• D． $\frac{1}{3}＜m＜1$

Answer 1

分析 由條件求得當(dāng) x∈（-1，0）時，f（x）的解析式，根據(jù)題意可得y=f（x）與y=mx+2m的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）時，f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$=$\frac{1}{x+1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
因為g（x）=f（x）-mx-2m有兩個零點，
所以y=f（x）與y=mx+2m的圖象有兩個交點，
根據(jù)圖象可得，當(dāng)0＜m≤$\frac{1}{3}$時，兩函數(shù)有兩個交點，
故選：A．

點評 本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．