Question

9．已知曲線2x²-y²=2，過點P（2，1）的直線l與曲線相交于A，B兩點．
（1）若直線AB平行于y軸，求線段AB的長；
（2）若直線l繞P點轉(zhuǎn)動，當點P為線段AB的中點時，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線為y=1，代入雙曲線的方程可得x，即可得到線段AB的長；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，相減結(jié)合中點坐標公式和直線的斜率公式，可得直線AB的斜率，由點斜式方程可得直線l的方程，注意代入雙曲線的方程，檢驗判別式是否大于0．

解答 解：（1）若直線AB平行于y軸，可得直線AB：y=1，
代入雙曲線的方程，可得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得|AB|=$\sqrt{6}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相減可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點坐標公式可得，x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
即有直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
可得直線l的方程為y-1=4（x-2），即為y=4x-7．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得14x²-56x+51=0，
由△=56²-4×14×51=280＞0，可得直線存在．
故直線l的方程為y=4x-7．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用，注意聯(lián)立直線方程，同時考查點差法的運用，注意檢驗直線的存在性，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．