Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們的刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．

(1)求出f(5)；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達(dá)式．

Answer 1

解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴f(5)＝25＋4×4＝41. ．---------5分

 (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4.

由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.    ．---------8分

∴f(2)－f(1)＝4×1，

f(3)－f(2)＝4×2，

f(4)－f(3)＝4×3，

……

f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)，

f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，（n≥2,n∈ N+時(shí)）

∴ f(n)－f(1)＝4＝2n(n－1)，

∴f(n)＝2n2－2n＋1.(n≥2且n∈ N+ )     ．---------12分

又 f(1)=1滿足上式

∴f(n)=2n2-2n+1  (n∈N+  )