Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，解不等式：f（x）＜3x．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù) f（x）=|x-3|+|x-2|≥3-k，利用絕對(duì)值三角不等式求出左側(cè)最小值，從而求得不等式f（x）≥3成立的k的取值范圍．
（2）由|x-3|+|x-2|＜3x-1，通過(guò)去掉絕對(duì)值符號(hào)，解答不等式求出解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-3|+|x-2|+k，f（x）≥3恒成立，即（|x-3|+|x-2|）_min≥3-k，
|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
∴（|x-3|+|x-2|）_min=1，可得1≥3-k，解得k≥2，
使得不等式f（x）≥3恒成立的k的取值范圍是[2，+∞）．
（2）當(dāng)x≤2時(shí)，不等式化為：5x＞6，解得x＞

6

5

，可得

6

5

＜x≤2．
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，不等式化為：3x＞2，解得x＞

2

3

，可得2＜x＜3．
當(dāng)x≥3時(shí)，不等式化為：x＞-4，解得x≥3．
綜上不等式的解集為：（

6

5

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．