Question

已知函數f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實數，若f(x)≤|f(

π

6

)|對x∈R恒成立且f(

π

2

)＜f(π)，則下列結論正確的是（　�。�

• A、f(

  11π

  12

  )=-1
• B、f(

  7π

  10

  )＞f(

  π

  5

  )
• C、f（x）是奇函數
• D、[0，

  π

  6

  ]是f（x）的單調遞增區(qū)間

Answer 1

考點：正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用正弦函數的對稱性與單調性，可求得φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），于是得到f（x）=sin（2x+

π

6

），再對A、B、C、D四個選項逐一分析判斷即可．

解答： 解：∵f（x）=sin（2x+φ），f(x)≤|f(

π

6

)|對x∈R恒成立，
∴x=

π

6

為函數f（x）的一條對稱軸，
∴2×

π

6

+φ=kπ+

π

2

（k∈Z）；
∴φ=kπ+

π

6

（k∈Z）；
又f(

π

2

)＜f(π)，∴sin（π+φ）＜sin（2π+φ），∴sinφ＞0，
∴φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）；
對于A，∵f（

11π

12

）=sin（

11π

6

+

π

6

）=0，故A錯誤；
對于B，f（

7π

10

）=sin（

7π

5

+

π

6

）=-sin（

2π

5

+

π

6

）＜sin（

2π

5

+

π

6

）=f（

π

5

），故B錯誤；
對于C，f（0）=sin

π

6

=

1

2

≠0，故f（x）不是奇函數，故C錯誤；
對于D，當x∈[0，

π

6

]時，（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

π

2

]，f（x）=sin（2x+

π

6

）為增函數，故D正確．
故選：D．

點評：本題考查正弦函數的圖象與性質，著重考查正弦函數的對稱性、奇偶性與單調性的綜合判斷，考查分析、運算能力，屬于中檔題．