Question

20．某省高考改革實(shí)施方案指出：該省高考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生自主選擇的學(xué)業(yè)水平等級性考試科目共同構(gòu)成．該省教育廳為了解正就讀高中的學(xué)生家長對高考改革方案所持的贊成態(tài)度，隨機(jī)從中抽取了100名城鄉(xiāng)家長作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見．下面是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖．
（1）根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷我們能否有95%的把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”？

	贊成	不贊成	合計
城鎮(zhèn)居民
農(nóng)村居民
合計

注：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}，其中n=a+b+c+d$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.005
k0	2.706	3.841	7.879

（2）用樣本的頻率估計概率，若隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽取3個，記這3個家長中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為x，試求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（x）．

Answer 1

分析 （2）完成2×2列聯(lián)表，求出K²≈3.03＜3.841．從而我們沒有95%的把握認(rèn)為”贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”．
（2）用樣本的頻率估計概率，隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽中城鎮(zhèn)戶口家長的概率為0.6抽中農(nóng)村戶口家長的概率為0.4，X的可能取值為0，1，2，3，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）完成2×2列聯(lián)表，如下：

	贊成	不贊成	合計
城鎮(zhèn)居民	30	15	45
農(nóng)村居民	45	10	55
合計	75	25	100

代入公式，得K²觀測值：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（300-675）^{2}}{45×55×75×25}$≈3.03＜3.841．
∴我們沒有95%的把握認(rèn)為”贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”．
（2）用樣本的頻率估計概率，隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽中城鎮(zhèn)戶口家長的概率為0.6
抽中農(nóng)村戶口家長的概率為0.4
X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（0.4）³=0.064，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×0.6×（0.4）^{2}$=0.288，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{6}^{2}×0.4$=0.432，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×0．{6}^{3}$=0.216，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

E（X）=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．