Question

9．若（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數項，則常數項為45．

Answer 1

分析 寫出二項式（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式的通項，要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數項，再由x，y的指數為0，求得n，r的值，則答案可求．

解答 解：（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式的通項為C_n^r（-1）^rx^n-5ry^-r，
要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數項，則$\left\{\begin{array}{l}{n-5r=0}\\{r=2}\end{array}\right.$，
解得r=2，n=10，
則常數項為：C₁₀²（-1）²=45；
故答案為：45．

點評 本題考查二項式系數的性質，關鍵是熟記二項展開式的通項．