Question

12．已知過點(diǎn)A（0，1）的動直線l與圓C：x²+y²-4x-2y-3=0交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1）
依題意知$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{AP}$，即$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$⇒（x-2）x+（y-1）（y-1）=0，整理得：x²+y²-2x-2y+1=0．
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，由韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-2，可構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）將x²+y²-4x-2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程
得：（x-2）²+（y-1）²=8，-------------------------------------------------（1分）
可知圓心C的坐標(biāo)為（2，1），半徑r=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1）--------------------------------------（2分）
依題意知$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{AP}$，
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$⇒（x-2）x+（y-1）（y-1）=0，
整理得：x²+y²-2x-2y+1=0----------------------------------------------（4分）
∵點(diǎn)A在圓C內(nèi)部，∴直線l始終與圓C相交，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-2x-2y+1=0．----------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
若直線l與x軸垂直，則l的方程為x=0，代入x²+y²-4x-2y-3=0
得y²-2y-3=0，解得y=-1或y=3，
不妨設(shè)y₁=-1，y₂=3，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-3，不符合題設(shè)，------------------------------------------------（7分）
設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-2y-3=0}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$消去y得：（1+k²）x²-4x-4=0，--------------------------------（8分）
△=16（2+k²）＞0，
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{1+{k}^{2}}$-----------------------------------------------------------------------（9分）
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-2，
∴$\frac{-4}{1+{k}^{2}}×（1+{k}^{2}）$+$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$+1=-2⇒k²-4k+1=0，
解得：k=2$±\sqrt{3}$-----------------------------------------------------------------（11分）
∴當(dāng)$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2時，直線l的方程為y=（2$±\sqrt{3}$）x+1．--------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理化簡求值、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．