Question

已知四棱錐P-GBCD中（如圖），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=

3

4

BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，PG=4．
（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且

DF

•

GC

=0，

PF

=k

CF

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

專題：綜合題,空間角

分析：（Ⅰ）在平面GBCD內(nèi)，過C點(diǎn)作CH∥EG交GD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線GE與PC所成的角；
（Ⅱ）在平面GBCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，證明FM∥PG，由

DF

•

GC

=0得GM⊥MD，故GM=GD•cos45°=

3

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）在平面GBCD內(nèi)，過C點(diǎn)作CH∥EG交GD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線GE與PC所成的角．
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

由余弦定理得，cos∠PCH=

10

10

∴異面直線GE與PC所成角的余弦值為

10

10

．
（Ⅱ）在平面GBCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，
又∵DF⊥GC，
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG
由

DF

•

GC

=0得GM⊥MD，∴GM=GD•cos45°=

3

2

，
∵

PF

FC

=

GM

MC

=

3 2

1 2

=3，∴k=-3．

點(diǎn)評：本題考查異面直線及其所成的角，考查線面、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．