Question

已知在平面直角坐標xOy中，直線l經(jīng)過點P（0，1），傾斜角為

π

6

；在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ²-4ρsinθ=1．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）依題意知，直線的參數(shù)方程為

x=0+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，化簡可得結(jié)果；根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ可得圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，利用韋達定理以及參數(shù)的幾何意義求得|AB|=|t₁-t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意知，直線的參數(shù)方程為

x=0+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，即

x= 3 2 t y=1+ 1 2 t

 （t為參數(shù)）．
圓C的方程為ρ²-4ρsinθ=1即 x²+y²-4y=1，
所以圓C的標準方程為 x²+（y-2）=5．
（Ⅱ）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，將

x= 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入x²+（y-2）=5，
得 t²-t-4=0，∴t₁+t₂=1 t₁•t₂=-4，∴|t₁-t₂|=

17

，
由參數(shù)t的幾何意義知|AB|=|t₁-t₂|=

17

．

點評：本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．