4.設(shè)f(x)=ex-ax(a∈R),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若a=1時,求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計算f′(0),f(0),求出切線方程即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x,
所以f′(x)=ex-1;
∴f′(0)=e0-1=0,f(0)=e0-0=1;    
所以曲線y=f(x)在x=0的切線方程為y=1;
(2)f′(x)=ex-a;
(i)當(dāng)a≤0時,f′(x)>0恒成立,即函數(shù)f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=1;           
(ii)當(dāng)a>0時,令f′(x)=0得到x=lna;
若lna≤0,即0<a≤1時,在[0,1]上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=1;
若lna≥1,即a≥e時,在[0,1]上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在[0,1]上為減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=e-a;         
若0<lna<1,即1<a<e時,在[0,lna)上f′(x)<0,在(lna,1]上f′(x)>0,
即函數(shù)f(x)在[0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,1]上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為f(lna)=a-alna;                   
綜上所述,當(dāng)a≤1時,函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為1;
當(dāng)1<a<e時,函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為e-a;
當(dāng)a≥e時,函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值為a-alna.

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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