Question

10．若sin⁶α+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，求cos2015α的值．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到sin²α+cos²α=1，變形后代入已知等式代入求出cosα的值，確定出α的度數(shù)，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：∵sin²α+cos²α=1，∴sin²α=1-cos²α，
∴sin⁶α+cos⁶α=（sin²α）³+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，
把sin²α=1-cos²α代入得：（1-cos²α）³+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，
整理得：（2cos²α-1）²=0，
∴2cos²α-1=0，即cos²α=$\frac{1}{2}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$，
則cos2015α=cos$\frac{2015π}{4}$=cos（504π-$\frac{π}{4}$）=cos（-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．