Question

20．如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求證：AC⊥BF；         
（2）求證：BF⊥平面ACFD．

Answer 1

分析 （1）延長AD，BE，CF相交于一點K，推導出AC⊥BC，從而AC⊥平面BCK，由此能證明BF⊥AC．
（2）推導出△BCK為等邊三角形，從而BF⊥CK，再由平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，知AC⊥平面BCEF，從而BF⊥AC，由此能證明BF⊥平面ACFD．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示，
因為平面BCEF⊥平面ABC，且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCK，
因為BF?平面BCK，所以BF⊥AC．  …（6分）
（2）因為EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，
所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，
則BF⊥CK，
又平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
所以AC⊥平面BCEF，
因為BF?平面BCEF，所以BF⊥AC，
又AC∩CK=C，
所以BF⊥平面ACFD…..（12分）

點評 本題考查線線垂直、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．