Question

5．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊上異于A，B的一點．光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P（如圖）．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 建立坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點P₁的坐標，和P關于y軸的對稱點P₂的坐標，由P₁，Q，R，P₂四點共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關于a的方程，解之可得P的坐標，進而可得AP的值．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標系如圖所示．則A（0，0），B（4，0），C（0，4）．
設△ABC的重心為D，則D點坐標為$（{\frac{4}{3}，\frac{4}{3}}）$，設P點坐標為（m，0），則P點關于y軸對稱點P₁為（-m，0），
因為直線BC方程為x+y-4=0，
所以P點關于BC的對稱點P₂為（4，4-m），
根據(jù)光線反射原理，P₁，P₂均在QR所在直線上，∴${k_{{P_1}D}}={k_{{P_2}D}}$，
即$\frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{4}{3}+m}}=\frac{{\frac{4}{3}-4+m}}{{\frac{4}{3}-4}}$，
解得，$m=\frac{4}{3}$或m=0．當m=0時，P點與A點重合，故舍去．∴$m=\frac{4}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查直線與點的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應用，屬中檔題．