Question

5．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖）．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，由P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則A（0，0），B（4，0），C（0，4）．
設(shè)△ABC的重心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\frac{4}{3}，\frac{4}{3}}）$，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），則P點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P₁為（-m，0），
因?yàn)橹本�BC方程為x+y-4=0，
所以P點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P₂為（4，4-m），
根據(jù)光線反射原理，P₁，P₂均在QR所在直線上，∴${k_{{P_1}D}}={k_{{P_2}D}}$，
即$\frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{4}{3}+m}}=\frac{{\frac{4}{3}-4+m}}{{\frac{4}{3}-4}}$，
解得，$m=\frac{4}{3}$或m=0．當(dāng)m=0時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，故舍去．∴$m=\frac{4}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查直線與點(diǎn)的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．