已知函數(shù)f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=
1
2
x+b
沒有交點,求b的取值范圍;
(3)設(shè)h(x)=log9(a•3x-
4
3
a)
,若函數(shù)f(x)與h(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
(1)因為y=f(x)為偶函數(shù),所以?x∈R,f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx對于?x∈R恒成立.
2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9
9x+1
9x
-log9(9x+1)=-x
恒成立
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒為零,所以k=-
1
2

(2)由題意知方程log9(9x+1)-
1
2
x=
1
2
x+b
即方程log9(9x+1)-x=b無解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,則函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=b無交點.
因為g(x)=log9
9x+1
9x
=log9(1+
1
9x
)

任取x1、x2∈R,且x1<x2,則0<9x19x2,從而
1
9x1
1
9x2

于是log9(1+
1
9x1
)>log9(1+
1
9x2
)
,即g(x1)>g(x2),
所以g(x)在(-∞,+∞)是單調(diào)減函數(shù).
因為1+
1
9x
>1
,所以g(x)=log9(1+
1
9x
)>0
.所以b的取值范圍是(-∞,0].
(3)由題意知方程3x+
1
3x
=a•3x-
4
3
a
有且只有一個實數(shù)根.
令3x=t>0,則關(guān)于t的方程(a-1)t2-
4
3
at-1=0
(記為(*))有且只有一個正根.
若a=1,則t=-
3
4
,不合,舍去;
若a≠1,則方程(*)的兩根異號或有兩相等正根.
△=0⇒a=
3
4
或-3;但a=
3
4
⇒t=-
1
2
,不合,舍去;而a=-3⇒t=
1
2

方程(*)的兩根異號?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍{-3}∪(1,+∞).
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2x-1
x-1
在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義法給出證明;
(2)判斷函數(shù)g(x)=x3+
1
x
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(1)設(shè)x,y為正數(shù),求(x+y)(
1
x
+
4
y
)
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(2)設(shè)a>b>c,若
1
a-b
+
1
b-c
n
a-c
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a2
2
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A.-2B.2C.2或-2D.無法確定

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b
x
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