Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-x+alnx，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）-（1+a）x₀≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）由題意可得a（x₀-lnx₀）≤x₀²-2x₀，由y=x-lnx（1≤x≤e），求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最大值，由g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得增函數(shù)，求得最大值為g（e），進而得到a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$，
可得曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為2-1+1=2，切點為（1，0），
即有曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2；
（2）?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）-（1+a）x₀≥0，
即為a（x₀-lnx₀）≤x₀²-2x₀，
由y=x-lnx（1≤x≤e），y′=1-$\frac{1}{x}$＞0，可得y=x-lnx在[1，e]遞增，且y∈[1，e-1]，
可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在x∈[1，e]成立，即為a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最大值，
由g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
由y=x+2-2lnx（1≤x≤e），y′=1-$\frac{2}{x}$，可得函數(shù)y在[1，2]遞減，在[2，e]遞增，
即有函數(shù)y=x+2-2lnx在x=2處取得最小值4-2ln2＞0，
則g′（x）＞0在[1，e]恒成立，即為g（x）在[1，e]遞增，
可得g（x）的最大值為g（e）=$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$．
則a的取值范圍是（-∞，$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查存在性問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．