Question

9．某電視生產(chǎn)廠家有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉(xiāng)活動．若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p、q萬元，農(nóng)民購買電視機獲得的補貼分別為$\frac{2}{5}$lnp、$\frac{1}{10}$q萬元．已知廠家對A、B兩種型號電視機的投放總金額為10萬元，且A、B兩型號的電視機投放金額都不低于1萬元，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農(nóng)民得到的補貼最多，并求出其最大值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4）．

Answer 1

分析 先設(shè)A型號電視機的投放金額為x萬元（1≤x≤9），則B型號的電視機的投放金額為（10-x）萬元，并設(shè)農(nóng)民得到的補貼為f（x）萬元，由題意得$f（x）=\frac{2}{5}lnx+\frac{1}{10}（10-x）=\frac{2}{5}lnx-\frac{1}{10}x+1$，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最大值，從而得到分配方案，求出最大值．

解答 解：設(shè)A型號電視機的投放金額為x萬元（1≤x≤9），
則B型號的電視機的投放金額為（10-x）萬元，并設(shè)農(nóng)民得到的補貼為f（x）萬元，
由題意得$f（x）=\frac{2}{5}lnx+\frac{1}{10}（10-x）=\frac{2}{5}lnx-\frac{1}{10}x+1$…（4分）
$f'（x）=\frac{2}{5x}-\frac{1}{10}=\frac{4-x}{10x}$，令f'（x）=0得x=4，
當x∈（1，4）時，f'（x）＞0；當x∈（4，9），時，f'（x）＜0，---------------------（8分）
所以當x=4時，f（x）取得最大值，$f{（x）_{max}}=\frac{2}{5}ln4-0.4+1≈1.2$，---------（10分）
故廠家投放A、B兩種型號的電視機的金額分別是4萬元和6萬元，
農(nóng)民得到的補貼最多，最多補貼約1.2萬元．---------------------（12分）

點評 本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．