Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，可得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，作差$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，證明為常數(shù)即可．

解答 證明：∵a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，
∴a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列，公差為-1，首項為-2．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．