Question

4．下列函數(shù)：①f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；②f（x）=x³-x；③f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；④f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$．
其中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，解得x=1或x=-1，即定義域?yàn)閧-1，1}，
此時(shí)f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，則函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；
②f（-x）=-x³+x=-（x³-x）=-f（x）；即函數(shù)是奇函數(shù)；
③f（x）+f（-x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x²+1-x²）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)；
④由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得-1＜x＜1．則f（x）+f（-x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$+ln$\frac{1+x}{1-x}$=ln（$\frac{1-x}{1+x}$）（$\frac{1+x}{1-x}$）=ln1=0．
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)；
故四個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．注意要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．