Question

14．設(shè)命題p：?x∈R，函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）有意義，命題q：?x＞0，不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax恒成立，如果命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真命題時的等價條件，利用命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的范圍即可．

解答 解：當命題p為真命題
即f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定義域為R，
即ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0對任意實數(shù)x均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-{\frac{1}{4}a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
當命題q為真命題
即：$\sqrt{2x+1}$-1＜ax對一切正實數(shù)均成立
即a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$對一切正實數(shù)x均成立，
∵x＞0，
∴$\sqrt{2x+1}$＞1，
∴$\sqrt{2x+1}$+1＞2，
∴$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$＜1，
∴命題q為真命題時a≥1．
∵命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，
∴p與q有且只有一個是真命題．
當p真q假時，a不存在；
當p假q真時，a∈[1，2]．
綜上知a∈[1，2]．

點評 本題考查復合命題與簡單命題真假的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q為真命題的等價條件是解決這類題的關(guān)鍵，屬于一道中檔題．