Question

7．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面?zhèn)让鍮B₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為2$\sqrt{3}$，求點(diǎn)A到平面A₁B₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （I）證AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，再由線面垂直⇒面面垂直；
（II）求得三棱錐B₁-ABC的體積，利用棱柱是由三個體積相等的三棱錐組合而成來求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：由側(cè)面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁．
又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又∵AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：設(shè)AB=a，點(diǎn)A到平面A₁B₁C₁的距離為h．
由題意，△BB₁C是邊長為a的等邊三角形，在直角三角形ABC中，AB=BC=a，
由（Ⅰ）AB⊥平面BB₁C₁C，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=3${V}_{A-B{B}_{1}C}$
∴S_△ABC•h=3×$\frac{1}{3}×{S}_{△B{B}_{1}C}×AB$，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}{a}^{2}h=3•\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=2$\sqrt{3}$
∴a=2，h=$\sqrt{3}$，
∴A到平面A₁B₁C₁的距離為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定及空間幾何體的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．