Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）當b＜0時，若關于x的方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]內有2個不同的實數(shù)根，求2a+b的取值范圍．
（2）當|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，都有|x+a|≤M在[-1，1]上恒成立，求M的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的圖象和性質，可得f（-1）≥0，且f（1）≥0，且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1，b＜0，可以（a，b）為坐標，作出上面不等式組表示的可行域，令z=2a+b，平移直線2a+b=0，即可得到z的最值，進而得到所求范圍；
（2）當|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，1≥|f（x）|的最大值，運用絕對值不等式的性質，可得a=b=0，即有M≥|x|在[-1，1]的最大值，求得最大值1，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當b＜0時，△=a²-4b＞0，
由題意可得f（-1）≥0，且f（1）≥0，且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1，
即有1-a+b≥0，1+a+b≥0，-2≤a≤2，b＜0．
可以（a，b）為坐標，作出上面不等式組表示的可行域，
令z=2a+b，平移直線2a+b=0，
當經(jīng)過點A（1，0）時，2a+b取得最大值2；
經(jīng)過點B（-1，0）時，2a+b取得最小值-2．
則2a+b的取值范圍是[-2，2]；
（2）當|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，
1≥|f（x）|的最大值，
由|f（x）|=|x²+ax+b|≤|x²|+|ax|+|b|
≤1+|a|+|b|，
則1≥1+|a|+|b|，但|a|+|b|≥0，
即有|a|+|b|=0，可得a=b=0，
則|x+a|≤M在[-1，1]上恒成立，即為M≥|x|在[-1，1]的最大值，
由|x|≤1，可得M≥1，
即M的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查二次函數(shù)與二次方程、二次不等式的關系，考查二次方程實根的分布和不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想，以及絕對值不等式的性質，考查運算能力，屬于中檔題．