Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱
（1）求函數(shù)g（x）的解析式，并指出其定義域；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（-x），若對(duì)任意的x∈[0，1），總有h（x）≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱變換原則，可得g（x）=f（2a-x），進(jìn)而可得函數(shù)的解析式及定義域；
（2）函數(shù)h（x）=g（x）-f（-x）=log_a$\frac{x-2a-1}{x-1}$，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，
∴g（x）=f（2a-x）=log_a（2a-x+1），x∈（-∞，2a+1）；
（2）∵函數(shù)h（x）=g（x）-f（-x）=log_a$\frac{x-2a-1}{x-1}$
若a＞1，則對(duì)任意的x∈[0，1），總有h（x）≥3成立可化為：
$\frac{x-2a-1}{x-1}$≥a³，即（a³-1）x-a³+2a+1≥0，
記m（x）=（a³-1）x-a³+2a+1，
則函數(shù)為增函數(shù)，
故m（0）=-a³+2a+1≥0，
解得：1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
若0＜a＜1，則對(duì)任意的x∈[0，1），總有h（x）≥3成立可化為：
$\frac{x-2a-1}{x-1}$≤a³，即（a³-1）x-a³+2a+1≤0，
記m（x）=（a³-1）x-a³+2a+1，
則函數(shù)為減函數(shù)，
故m（0）=-a³+2a+1≤0，
不存在滿足條件的a值．
綜上可得：1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．