Question

8．如圖，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$．
（1）求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
（2）求$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用平行線分線段成比例定理及其推論能證明A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC．
（2）由A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC，結(jié)合圖形推導(dǎo)出∠BAC=∠B′A′C′，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，從而得到△ABC∽△A′B′C′，由此利用面積比等于相似比的平方，根據(jù)$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，能求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$的值．

解答 （1）證明：∵AA′∩BB′=O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴A′B′∥AB，
∵AA′∩CC′=0，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴A′C′∥AC，
∵BB′∩CC′=O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴B′C′∥BC．
（2）解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB、A′C′和AC方向相反，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
同理，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查線線平行的證明，考查兩三角形面積比的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平行線分線段成比例定理及其推論、面積比等于相似比的平方的合理運(yùn)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．