Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3，n≥3，已知初始值a₀=0，a₁=1，a₂=-1，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3（n≥3）變形可知a_n+3a_n-1-10a_n-2=2（a_n-1+3a_n-2-10a_n-3）（n≥3），進而可知數(shù)列{a_n+2+3a_n+1-10a_n}是首項為4、公比為2的等比數(shù)列，從而a_n+2+3a_n+1-10a_n=2ⁿ⁺¹，對其兩邊同時除以2ⁿ⁺²得$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，并變形可知$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，計算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，再次變形的$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），進而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首項為$\frac{25}{98}$、公比為-$\frac{5}{2}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3（n≥3），
∴a_n+3a_n-1-10a_n-2=2（a_n-1+3a_n-2-10a_n-3）（n≥3），
又∵a₀=0，a₁=1，a₂=-1，
∴a₃+3a₂-10a₁=2（a₂+3a₁-10a₀）=2（-1+3-0）=4，
∴數(shù)列{a_n+2+3a_n+1-10a_n}是首項為4、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+2+3a_n+1-10a_n=2ⁿ⁺¹，
兩邊同時除以2ⁿ⁺²，得：$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{2}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首項為$\frac{25}{98}$、公比為-$\frac{5}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$•$（-\frac{5}{2}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=[$\frac{n}{7}$+$\frac{5}{49}$+（-1）^n-1•$\frac{{5}^{n+1}}{49•{2}^{n}}$]•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．