Question

【題目】已知拋物線，其中．點(diǎn)在的焦點(diǎn)的右側(cè)，且到的準(zhǔn)線的距離是與距離的3倍．經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線的方程和的坐標(biāo)；

（2）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）平行.

【解析】

(1)由到的準(zhǔn)線的距離是與距離的3倍可得p值，從而得到拋物線的方程和的坐標(biāo)；

(2)方法一：設(shè)直線的方程為 ，對m分類討論，分別計(jì)算二者的斜率，即可作出判斷.方法二：先考慮直線的斜率不存在時(shí)，在考慮直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立求點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)斜率公式求出，即可得出結(jié)論.

(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,

所以有，解得 ,

所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .

(2)直線 ,

方法一：

設(shè)，，

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立方程

消元得，,

所以， ,

,

顯然，

直線的方程為 ,

令，則，則,

因?yàn)?/span> ，所以 ,

直線的方程為，

令，則，則

① 當(dāng)時(shí)，直線 的斜率不存在，，可知 ，

直線的斜率不存在，則

② 當(dāng)時(shí)，，，

則

綜上所述，

方法二：

直線

(i) 若直線的斜率不存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，

直線的方程為，則

直線的方程為，即，

令，則，則直線 的斜率不存在，因此

(ii) 設(shè)，，

當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程，

消元得，，

整理得，

由韋達(dá)定理，可得，

，因?yàn)?/span>，可得.

顯然，

直線的方程為

令，則，則

因?yàn)?/span> ，所以

直線的方程為，

令，則，則

，則

綜上所述， .