Question

已知函數f（x）=

-( 1 2 )x，x≤0 x2-2ax-1，x＞0

（a∈R），則下列結論正確的是（　　）

• A、?a∈R，f（x）在R上單調遞減
• B、?A∈R，f（x）的最小值為f（a）
• C、?a∈R，f（x）有極大值和極小值
• D、?a∈R，f（x）有唯一零點

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：A．由x≤0的函數單調性，即可判斷；
B．由于x≤0時，y=-（

1

2

）^x是單調遞增函數，即可判斷；
C．令a=0，判斷函數f（x）的單調性，即可判斷；
D..令f（x）=0，則x²-2ax-1=0（x＞0），解出兩根，討論a的符號，確定根的符號，即可判斷．

解答： 解：A．由于x≤0時，y=-（

1

2

）^x是單調遞增函數，故A錯；
B．由于x≤0時，y=-（

1

2

）^x是單調遞增函數，故f（x）無最小值，B錯；
C若a=0，則f（x）在（-∞，0]上遞增，在（0，+∞）上遞增，且連續(xù)，
故f（x）在R上遞增，故f（x）無極值，即C錯；
D．令f（x）=0，則x²-2ax-1=0（x＞0），解得x=a±

a2+1

，
若a＞0，則a+

a2+1

＞0，a-

a2+1

＜0；
若a=0，a+

a2+1

＞0，a-

a2+1

＜0；
若a＜0，a+

a2+1

＞0，a-

a2+1

＜0．
則?a∈R，f（x）有唯一零點，故D正確．
故選：D．

點評：本題考查函數的性質和運用，考查函數的單調性、最值、極值以及零點的個數，屬于中檔題．