Question

12．已知△ABC的周長為$\sqrt{2}+1$，面積為$\frac{1}{6}sinC$，且$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，則角C的值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得出a+b=$\sqrt{2}c$，結(jié)合周長得出c和a+b，根據(jù)面積公式得出ab，利用余弦定理計(jì)算cosC．

解答 解：∵$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，∴a+b=$\sqrt{2}c$．
∵a+b+c=$\sqrt{2}+1$，∴$\sqrt{2}c+c=\sqrt{2}+1$，解得c=1．∴a+b=$\sqrt{2}$．
∵S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{6}sinC$，∴ab=$\frac{1}{3}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
故答案為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理在解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．