Question

4．如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中$AB=\sqrt{t+1}$，$AD=\sqrt{t+2}$，則$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． t
• D． 2t

Answer 1

分析 可連接CD，CB，從而得到CD⊥AD，BC⊥AB，這便可得到$|\overrightarrow{AC}|cos∠DAC=|\overrightarrow{AD}|$，$|\overrightarrow{AC}|cos∠BAC=|\overrightarrow{AB}|$，從而得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，帶入$AD=\sqrt{t+2}，AB=\sqrt{t+1}$便可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如圖，連接CD，CB；
∵AC為直徑；
∴CD⊥AD，BC⊥AB；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$|\overrightarrow{AC}|cos∠DAC•|\overrightarrow{AD}|-|\overrightarrow{AC}|cos∠BAC•|\overrightarrow{AB}|$
=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=t+2-（t+1）
=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，余弦函數(shù)的定義，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式．