Question

甲、乙兩人射擊，已知甲每次擊中目標(biāo)的概率為

1

4

，乙每次擊中目標(biāo)的概率為

1

3

．
（1）兩人各射擊一次，求至少有一人擊中目標(biāo)的概率；
（2）若制定規(guī)則如下：兩人輪流射擊，每人至多射擊2次，甲先射，若有人擊中目標(biāo)即停止射擊．
①求乙射擊次數(shù)不超過(guò)1次的概率；
②記甲、乙兩人射擊次數(shù)和為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用互斥概率的公式計(jì)算即可，
（2）①利用互斥概率的公式計(jì)算即可
②甲、乙兩人射擊次數(shù)和為ξ，ξ的取值為1，2，3，4．列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）事件A=“甲每次擊中目標(biāo)“，事件B=“乙每次擊中目標(biāo)“．
故兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率P=1-P(

.

AB

)=1-(1-

1

4

)×(1-

1

3

)=

1

2

；
（2）①乙射擊次數(shù)不超過(guò)1次的對(duì)立事件是“乙射擊2次”，
所以乙射擊次數(shù)不超過(guò)1次的概率P=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

A

）=1-

3

4

×

2

3

×

3

4

=

5

8

；
②甲、乙兩人射擊次數(shù)和為ξ，ξ的取值為1，2，3，4．
P（ξ=1）=P（A）=

1

4

，
P（ξ=2）=P（

.

A

•B）=

3

4

×

1

3

=

1

4

，
P（ξ=3）=P（

.

A

•

.

B

•A）=

3

4

×

2

3

×

1

4

=

1

8

，
P（ξ=4）=P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

3

4

×

2

3

×

3

4

=

3

8

，
則分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 8	3 8

甲乙射擊總次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為：E（ξ）=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

3

8

=

21

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題．