Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an

rn-1

=9-6n（r是非零常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的通項公式和前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當n=1時，可求得a₁=3，當n≥2時，分r=1與r≠1討論，可求得數(shù)列{a_n}的通項公式，繼而可求得其前n項和．

解答： 解：令n=1可得a₁=9-6×1=3；
①當r=1時，a₁+a₂+…+a_n=9-6n，
所以a₁+a₂+…+a_n-1=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
兩式相減得：a_n=9-6n-（15-6n）=-6（n≥2）；
但a_n=-6不滿足a₁=3，
所以a₁=3，故a_n=

3，n=1 -6，n≥2

．
此時，S_n=a₁+a₂+…+a_n=9-6n；
②當r≠1時，a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an

rn-1

=9-6n，
所以a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an-1

rn-2

=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
兩式相減得：

an

rn-1

=9-6n-（15-6n）=-6，
所以a_n=-6×r^n-1（n≥2），
但a_n=-6不滿足a₁=3，所以a₁=3，
故a_n=

3，n=1 -6×rn-1，n≥2

．
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n=3+（-6）×r+（-6）×r²+（-6）×r³+…+（-6）×r^n-1
=3-6×（r+r²+r³+…+r^n-1）
=3-6[

r(1-rn-1)

1-r

]=3-

6r-6rn

1-r

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列的求和，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考查運算推理能力，屬于難題．