Question

設(shè)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=

2x-m

x2+1

    
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，利用韋達定理可求f（α）、f（β）的值，從而可求αf（α）+βf（β）；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，可得導(dǎo)數(shù)的符號，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：∵關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，∴

α+β=m αβ=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α2-αβ

=

1

α

，
同理f(β)=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）f（x）在（α，β）上為增函數(shù)
∵f(x)=

2x-m

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，
當(dāng)x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
從而f′（x）＜0，
∴f（x）在（α，β）上為減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．