7．已知正數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1，則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

分析 由題意可得$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），再由三元基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：由正數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1，
可得2=（a+b）+（b+c）+（c+a），
即有$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥$\frac{1}{2}$•3$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3$\root{3}{\frac{1}{a+b}•\frac{1}{b+c}•\frac{1}{c+a}}$=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得最小值$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查乘1法和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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