Question

15．在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，求四邊形ABCD的外接圓半徑．

Answer 1

分析 連接AC，在△ABC、△ACD中分別用由余弦定理求AC²，兩式右邊相等消去AC²，式子兩角是互補的，得出角的正弦值，可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直徑，除以2得半徑．

解答 解：連接AC，在△ABC中由余弦定理，得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1²+2²-2×1×2cos∠ABC=5-4cos∠ABC，（3分）
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=4²+3²-2×4×3cos∠ADC=25-24cos∠ADC，（6分）
從而得5-4cos∠ABC=25-24cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=$\frac{5}{7}$，（9分）
sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
所以AC2=25-24×$\frac{5}{7}$=$\frac{55}{7}$．（10分）
由2R=$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\sqrt{\frac{55}{7}}×\frac{7}{2\sqrt{6}}$，
解得R=$\frac{\sqrt{2310}}{24}$（16分）

點評 本題兩次用到余弦定理，銜接點有兩處，一是有一條公共邊，二是式子中兩個角互補，圓內(nèi)接四邊形的對角補，要從圖中讀出，這點很重要；正弦定理記憶的時候要全面，它的比值是三角形外接圓的直徑，知道這一點，問題迎刃而解．