Question

已知O為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，∠AOB=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上運(yùn)動．（x₁x₂＜0，y₁y₂＞0）
（1）求證：點(diǎn)（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上；
（2）求證：直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)AB∥x軸時，動點(diǎn)P以每秒一個單位的速度自點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以每秒兩個單位的速度自點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0），試說明PQ的中點(diǎn)在定直線上，并求此定直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=0，以及A，B在拋物線上的條件，即可得證；
（2）設(shè)直線AB：y=kx+t，代入拋物線方程，可得，x²-4kx-4t=0，運(yùn)用韋達(dá)定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，得到t的方程，解得t=4即可得證；
（3）設(shè)出運(yùn)動t秒時，

OP

=（4

2

-t）

OB

，求得P的坐標(biāo)，再由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，求得Q的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消去t，即可得到定直線．

解答： （1）證明：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上運(yùn)動，
則有x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
由于∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即有（x₁x₂）²=16y₁y₂=-16x₁x₂，即有x₁x₂=-16．
則點(diǎn)（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上；
（2）證明：設(shè)直線AB：y=kx+t，代入拋物線方程，可得，
x²-4kx-4t=0，x₁x₂=-4t，x₁+x₂=4k，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²
=-4k²t+4k²t+t²=t²，由于x₁x₂+y₁y₂=0，則t²-4t=0，解得，t=4．
即有直線y=kx+4，即恒過定點(diǎn)（0，4）；
（3）解：當(dāng)AB∥x軸時，即A（4，4），B（-4，4），
動點(diǎn)P以每秒一個單位的速度自點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動，則運(yùn)動4

2

秒停止，
動點(diǎn)Q以每秒兩個單位的速度自點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，則運(yùn)動2

2

秒停止，
則0≤t≤2

2

，
運(yùn)動t秒時，由

OP

=（4

2

-t）

OB

，可得P（-16

2

+4t，16

2

-4t）
由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，可得Q（16

2

-8t，16

2

-8t），
則PQ的中點(diǎn)為：（-2t，16

2

-6t），
可令x=-2t，y=16

2

-6t，
消去t，可得，y=3x+16

2

．
則有PQ的中點(diǎn)在定直線y=3x+16

2

上．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程及運(yùn)用，考查兩直線的垂直的條件，以及直線恒過定點(diǎn)的問題，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．