Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和該動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的比是常數(shù)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點(diǎn)，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，坐標(biāo)為

【解析】

(1)根據(jù)題意列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式,再化簡(jiǎn)方程即可.

(2) 設(shè),再討論當(dāng)⊥軸時(shí)可得,即若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.再討論斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達(dá)定理,證明即可.

（1）由題意,知,即.

解得曲線的方程為.

（2）法一：設(shè),易知,

①若⊥軸時(shí),由,此時(shí),滿足橢圓方程,

∴,解得（舍）,可知若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,

設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,

消去得,∴.

,∴

,

綜合①②可知,存在點(diǎn),使得.

（2）（解法二）設(shè),易知,設(shè).

若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,

,,

,

即是①,

由,得,

代入①式得

化簡(jiǎn),

整理得②,

為使與斜率無(wú)關(guān),由②式得出,解得（舍）,

這說(shuō)明與軸不垂直時(shí),是過(guò)的弦,恒有,

若⊥軸時(shí),：,是等腰三角形,,

,,,,

可見(jiàn)是等腰直角三角形,,

綜上,過(guò)的弦總有.