Question

3．當n是正整數時，比較并證明n²與2ⁿ的大小．

Answer 1

分析 當n=1時，n²＜2ⁿ； 當n=2時，n²=2ⁿ； 當n=3時，n²＞2ⁿ；當n=4時，n²=2ⁿ； 當n=5時，n²＜2ⁿ； 當n=6時，n²＜2ⁿ，…，猜想：當n≥5時，n²＜2ⁿ，下面用數學歸納法證明即可得出．

解答 解：當n=1時，n²＜2ⁿ； 當n=2時，n²=2ⁿ； 當n=3時，n²＞2ⁿ；
當n=4時，n²=2ⁿ； 當n=5時，n²＜2ⁿ； 當n=6時，n²＜2ⁿ，…，
猜想：當n≥5時，n²＜2ⁿ．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=5時，由上面的探求可知猜想成立．
（2）假設n=k（k≥5）時猜想成立，即2^k＞k²．
則2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2，
當k≥5時（k-1）²-2＞0，∴2k²＞（k+1）²，從而2^k+1＞（k+1）²，
∴當n=k+1時，猜想也成立．
綜合（1）（2），對n∈N^*猜想都成立．

點評 本題考查了利用數學歸納法證明不等式、猜想歸納能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．