Question

19．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ＞0）．
（1）求證：△ABO為鈍角三角形；
（2）若λ∈[4，9]，求△ABO面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為my=x-1，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理，證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即可證明：△ABO為鈍角三角形；
（2）S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，可得y₁=-λy₂，代入①可得m²=$\frac{（1-λ）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$）-$\frac{1}{2}$，利用λ∈[4，9]，即可求△ABO面積的取值范圍．

解答 （1）證明：拋物線C的方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為my=x-1，聯(lián)立直線與拋物線，
消去x得到y(tǒng)²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4①．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-4（m²+1）+4m²+1=-3＜0，
∴△ABO為鈍角三角形；
（2）解：由（1）可知：|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，
∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）．
∴y₁=-λy₂，
代入①可得m²=$\frac{（1-λ）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$）-$\frac{1}{2}$，
∵λ∈[4，9]，∴λ+$\frac{1}{λ}$在[4，9]上單調(diào)遞增，∴λ+$\frac{1}{λ}$∈[$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$]，
∴m²∈[$\frac{9}{16}$，$\frac{64}{36}$]
∴S_△AOB∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．