Question

7．求函數(shù)f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-4}$+$\sqrt{9-3{x}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)$\sqrt{2{x}^{2}-4}$=m，$\sqrt{9-3{x}^{2}}$=n，其中m≥0，n≥0；從而可得$\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，再令m=$\sqrt{2}$cosα，n=$\sqrt{3}$sinα；（0≤α≤$\frac{π}{2}$）；從而利用三角函數(shù)求最大值即可．

解答 解：設(shè)$\sqrt{2{x}^{2}-4}$=m，$\sqrt{9-3{x}^{2}}$=n，其中m≥0，n≥0；
則3m²+2n²=6，
故$\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
故令m=$\sqrt{2}$cosα，n=$\sqrt{3}$sinα；（0≤α≤$\frac{π}{2}$）；
故m+n=$\sqrt{2}$cosα+$\sqrt{3}$sinα
=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{10}}{5}$cosα+$\frac{\sqrt{15}}{5}$sinα）；
故當(dāng)$\frac{\sqrt{10}}{5}$=cosα，$\frac{\sqrt{15}}{5}$=sinα?xí)r，
m+n取得最大值$\sqrt{5}$；
故函數(shù)f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-4}$+$\sqrt{9-3{x}^{2}}$的最大值為$\sqrt{5}$．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的最值，橢圓的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．