Question

9．從某學校隨機抽取10名老師，獲得第i名老師的月收入x_i（千元）與月消費y_i（千元）的數據資料，算得果，$\sum_{i=1}^{10}$x_i=30，$\sum_{i=1}^{10}$ y_i=10，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=54，$\sum_{i=1}^{10}$x_i²=170．
（1）已知月收入x與月消費y之間具有線性相關關系，求x與y的線性回歸方程，并判斷x與y之間是正相關還是負相關；
（2）若該學校某老師的月收入為2.5（千元），預測該老師的月儲蓄（月儲蓄=月收入-月消費）．
（附：在線性回歸方$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{10}x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可知n，$\overline{x}$=3，$\overline{y}$=2進而代入可得b、a值，可得方程；由回歸方程x的系數b的正負可判；
（2）把x=2.5代入回歸方程求其函數值即可．

解答 解：（1）由題意知n=10，$\overline{x}$=3，$\overline{y}$=2，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=54，$\sum_{i=1}^{10}$x_i²=170
∴b═$\frac{54-10×3×2}{170-10×{3}^{2}}$=-$\frac{3}{40}$，a=2-（-$\frac{3}{40}$）×3=$\frac{89}{40}$，
故所求回歸方程為y=-$\frac{3}{40}$x+$\frac{89}{40}$．…（6分）
由于變量y的值隨x的值增加而減小，故x與y之間是負相關．…（9分）
（2）將x=2.5代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=2.5-（-$\frac{3}{40}$×2.5+$\frac{89}{40}$）=0.4625（千元）．…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求解及應用，屬基礎題．