Question

已知函數(shù)f（x）=e^xsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對于任意的x∈[0，

π

2

]，f（x）≥kx總成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出f′（x），然后分別求出當(dāng)f'（x）＞0、f'（x）＜0時x的取值范圍，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx總成立，只需x∈[0，

π

2

]時g（x）_min≥0，求出g'（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），再求出h'（x），（x∈(0，

π

2

)），所以h（x）在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，所以h(x)∈[1，e

π

2

]；最后對k分類討論，求出實數(shù)k的取值范圍即可．

解答： 解：（1）由于f（x）=e^xsinx，
所以f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)，
當(dāng)x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)時，f'（x）＞0；
當(dāng)x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)時，f'（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)（k∈Z）；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，
要使f（x）≥kx總成立，只需x∈[0，

π

2

]時g（x）_min≥0，
對g（x）求導(dǎo)，可得g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），
則h'（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）
所以h（x）在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，
所以h(x)∈[1，e

π

2

]；
對k分類討論：
①當(dāng)k≤1時，g'（x）≥0恒成立，
所以g（x）在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②當(dāng)1＜k＜e

π

2

時，g'（x）=0在上有實根x₀，
因為h（x）在(0，

π

2

)上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合題意；
③當(dāng)k≥e

π

2

時，g'（x）≤0恒成立，
所以g（x）在(0，

π

2

)上為減函數(shù)，
則g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，可得實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]．

點評：此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．